求证n维向量|α-β|≤|α-γ|·|γ-β|

设n维向量α=a1j1+a2j2+a3j3+...+anjn
β=b1j1+b2j2+b3j3+...+bnjn
γ=c1j1+c2j2+c3j3+...+cnjn
令ak-ck=fk,ck-bk=gk
ak-bk=fk+gk

|α-β|^2=(f1+g1)^2+(f2+g2)^2+(f3+g3)^2+...+(fn+gn)^2
|α-γ|^2=f1^2+f2^2+f3^2+...+fn^2
|α-β|^2=g1^2+g2^2+g3^2+...+gn^2

由柯西不等式：
(f1g1+f2g2+f3g3+...+fngn)^2≤(f1^2+f2^2+f3^2+...+fn^2)(g1^2+g2^2+g3^2+...+gn^2)
f1g1+f2g2+f3g3+...+fngn≤根号[(f1^2+f2^2+f3^2+...+fn^2)(g1^2+g2^2+g3^2+...+gn^2)]

f1^2+g1^2+f2^2+g2^2+...+fn^2+gn^2+2(f1g1+f2g2+f3g3+...+fngn)≤f1^2+g1^2+f2^2+g2^2+...+fn^2+gn^2+2根号[(f1^2+f2^2+f3^2+...+fn^2)(g1^2+g2^2+g3^2+...+gn^2)]
即：
(f1+g1)^2+(f2+g2)^2+(f3+g3)^2+...+(fn+gn)^2≤[根号(f1^2+f2^2+f3^2+...+fn^2)+根号(g1^2+g2^2+g3^2+...+gn^2)]^2
即：
|α-β|^2≤(|α-γ|+|γ-β|)^2

所以：
|α-β|≤|α-γ|+|γ-β|，得证。

(|α-γ|+|γ-β|)^2=(|α-γ|)^2+(|γ-β|)^2+2|α-γ|γ-β|>=(|α-γ|)^2+(|γ-β|)^2+2|α-γ|*|γ-β|cos<α-γ,γ-β>=(α-γ)*(α-γ)+(γ-β)*(γ-β)+2(α-γ)*(γ-β)
=((α-γ)-(α-γ))*((α-γ)-(α-γ))<